Peluang atau
kebolehjadian atau dikenal juga sebagai
probabilitas
adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa
suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah
dirumuskan dengan lebih ketat dalam
matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau
statistika, tapi juga
keuangan,
sains dan
filsafat.
Konsep matematika
Probabilitas suatu
kejadian
adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian.
Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1
adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi
[1]. Misalnya
matahari yang masih terbit di
timur
sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai
probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi.
Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.
Probabilitas/Peluang suatu kejadian
A terjadi dilambangkan dengan notasi P(
A), p(
A), atau Pr(
A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau
komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian
A tidak akan terjadi, adalah 1-P(
A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu
bersisi enam digulirkan adalah
Rumus
Web mengumpulkan materi Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
ini untuk anak SMA demi UAN SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur
adalah
semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n
unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis
atau
.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri
Contoh permutasi siklis :
Suatu
keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan
yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk
mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan
urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6
unsur yaitu :
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur
dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk
Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan
.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
Cara cepat mengerjakan soal kombinasi
dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur
dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu
himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang
masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah
kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k
hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A )
ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1].
Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan
kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan
peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan
adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian
pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian
A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan :
dibaca “ Kejadian A atau B dan
dibaca “Kejadian A dan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan
komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang
kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika
. Sehingga
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan
sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika
adalah peluang terjadinya A dan B, maka
Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A
dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan
salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P
(A), sehingga:
Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R.
Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan
himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y
adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval,
peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari
sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
dan setiap
maka:
Misalkan
X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang
disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan
dengan rumus berikut :
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal
-1) 
ex dx = ex + C 
(1-x2) + C
/2 - arcsin x
